Стохастическое программирование

Стохастическое программирование [stochastic programming] — раздел математического программирования, совокупность методов решения оптимизационных задач вероятностного характера. Это означает, что либо параметры ограничений (условий) задачи, либо параметры целевой функции, либо и те и другие являются случайными величинами (содержат случайные компоненты). В статье Транспортная задача, например, приведена детерминированная модель. В стохастической постановке та же задача будет более близкой к реальности. Рассмотрим одно условие: заданный объем спроса, и допустим, что спрос b_j   потребителя j   — случайная величина: b_j(w)  . Тогда в одних случаях (при одних ее реализациях) возникает ущерб от неудовлетворенного спроса — “штраф за дефицит”, в других, наоборот, потребитель получает излишний груз и, следовательно, затратит дополнительные средства на хранение и перевозку. Все это усложняет решение задачи, т.е. нахождение оптимального варианта прикрепления поставщиков к потребителям.

Вероятностный характер задач планирования часто объясняется неполнотой информации об их условиях. Бывает, однако, и так, что сложную детерминированную задачу, для точного решения которой требуется слишком большой объем вычислений, целесообразно привести к вероятностному виду, хотя вся информация известна. Это называется “стохастическое расширение детерминированной задачи”. Объем вычислений при этом существенно сокращается. Образно говоря, модель как бы рассматривается издалека: детали исчезают, но зато общая структура задачи становится более ясной, обозримой.

Казалось бы, при решении стохастических задач проще всего находить средние величины всех случайных параметров, сводить таким образом задачу к детерминированной и использовать обычные методы математического программирования. Однако опыт показывает, что такой подход не всегда эффективен: при некоторых реализациях случайных величин задача может не иметь решения.

Не во всех случаях пригодна и так называемая “жесткая постановка” задачи С.п. означающая, что ограничения задачи должны обязательно удовлетворяться при всех реализациях случайных параметров. Впрочем, во многих задачах она и не требуется. Можно ограничиться условием: чтобы соблюдалась некоторая заданная вероятность удовлетворения ограничений.

Наиболее успешно решаются двухэтапные задачи С.п. Их смысл можно показать на примере планирования производства при неопределенном будущем спросе на продукцию. Сначала (первый этап) устанавливается предварительный оптимальный план (задача выступает как детерминированная, ее решение — вектор с детерминированными компонентами). Под этот план проектируется и устанавливается оборудование, ведется технологическая подготовка производства и т.д. На втором этапе план корректируется в соответствии с реальным спросом. При этом, чем лучше были учтены все статистические характеристики возможного спроса в предварительном плане, тем меньше затрат потребуется на корректировку действительного объема производства.

Если продолжить в дальнейшем такие корректировки на основе учета характеристик случайного спроса, то двухэтапная задача перерастет в многоэтапную стохастическую задачу управления (см. Динамическое программирование, Многошаговые процессы).

Методы решения стохастических задач — относительно новая область исследований, здесь еще сделано сравнительно немного. Но характер экономических процессов таков, что статистический (или вероятностный) подход к их изучению должен развиваться. Он совершенно необходим для более реалистического отражения действительности в экономико-математических моделях, чем это возможно при их детерминированной постановке.